Jak rozwiązywać równania logarytmiczne

Zawartość

• etapy
• Wstępne: umieć przekształcić równanie logarytmiczne w równanie z potęgami
• Metoda 1 Znajdź x
• Metoda 2 Znajdź x przy użyciu reguły produktu logarytmicznej
• Metoda 3 Znajdź x używając t logarytmicznej reguły ilorazu

Równania logarytmiczne na pierwszy rzut oka nie są najłatwiejsze do rozwiązania w matematyce, ale można je przekształcić w równania z wykładnikami (notacja wykładnicza). Tak więc, jeśli uda ci się dokonać tej transformacji i opanujesz obliczenia za pomocą mocy, powinieneś łatwo rozwiązać tego rodzaju równania. Uwaga: od czasu do czasu będzie używany termin „log” zamiast „logarytm”, są one wymienne.

etapy

Wstępne: umieć przekształcić równanie logarytmiczne w równanie z potęgami

1. 
   

   
   Zacznijmy od definicji logarytmu. Jeśli chcesz obliczyć logarytmy, wiedz, że są one niczym więcej niż specjalnym sposobem wyrażania mocy. Zacznijmy od jednego z klasycznych warunków logarytmu:
   • y = log_b (X)
     • jeśli i tylko jeśli: b = x
   • b jest podstawą logarytmu. Muszą być spełnione dwa warunki:
     • b> 0 (b musi być ściśle pozytywne)
     • b nie może być równy 1
   • W notacji wykładniczej (drugie równanie powyżej) tam jest moc i x jest tak zwanym wyrażeniem wykładniczym, w rzeczywistości wartość której szuka log.

2. 
   

   
   
   
   Obserwuj uważnie równanie. W obliczu równania logarytmicznego musimy zidentyfikować podstawę (b), moc (y) i wyrażenie wykładnicze (x).
   • przykład : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Umieść wyrażenie wykładnicze po jednej stronie równania. Umieść na przykład swoją wartość x na lewo od znaku „=”.
   • przykład : 1024 = ?

4. 
   

   
   Podnieś podstawę do wskazanej mocy. Wartość przypisana do bazy danych (b) należy pomnożyć sama tyle razy, ile wskazuje moc (tam).
   • przykład : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • W skrócie daje to: 4

5. 
   

   
   
   
   Napisz swoją odpowiedź. Teraz możesz przepisać logarytm w notacji wykładniczej. Upewnij się, że Twoja równość jest poprawna, ponawiając obliczenia.
   • przykład : 4 = 1024

Metoda 1 Znajdź x

1. 
   

   
   Wyizoluj logarytm. Rzeczywiście celem jest dezaktywacja dziennika po raz pierwszy. W tym celu przekazujemy wszystkie elementy nielogarytmiczne po drugiej stronie równania. Nie zapomnij odwrócić znaków operacyjnych!
   • przykład : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Napisz równanie w postaci wykładniczej. Aby znaleźć „x”, musisz przejść od notacji logarytmicznej do notacji wykładniczej, która jest łatwiejsza do rozwiązania.
   • przykład : log₃(x + 5) = 4
     • Począwszy od równania teoretycznego y = log_b (X)], zastosuj to w naszym przykładzie: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Napisz równanie jako: b = x
     • Otrzymujemy tutaj: 3 = x + 5

3. 
   

   
   odnaleźć x. Masz teraz do czynienia z równaniem pierwszego stopnia, które jest łatwe do rozwiązania. Może to być drugi lub trzeci stopień.
   • przykład : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Wpisz ostateczną odpowiedź. Wartość znaleziona dla „x” jest odpowiedzią na twoje równanie logarytmiczne: log₃(x + 5) = 4.
   • przykład : x = 76

Metoda 2 Znajdź x przy użyciu reguły produktu logarytmicznej

1. 
   

   
   Musisz znać zasadę dotyczącą iloczynu (mnożenia) dzienników. Zgodnie z pierwszą właściwością dzienników, która dotyczy iloczynu dzienników (tej samej bazy wysyłanej!), Dziennik produktu jest równy sumie dzienników elementów produktu. Ilustracja:
   • log_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Muszą być spełnione dwa warunki:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Oddziel dzienniki po jednej stronie równania. Rzeczywiście celem jest zepsucie początkowo kłód. W tym celu przekazujemy wszystkie elementy nielogarytmiczne po drugiej stronie równania. Nie zapomnij odwrócić znaków operacyjnych!
   • przykład : log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Zastosuj regułę dotyczącą iloczynu dzienników. Tutaj zastosujemy go w przeciwnym kierunku, a mianowicie, że suma kłód jest równa kłosowi produktu. Co daje nam:
   • przykład : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Przepisz równanie z mocami. Przypomnij sobie, że równanie logarytmiczne można przekształcić w równanie z wykładnikami wykładniczymi. Tak jak poprzednio, przejdziemy do notacji wykładniczej, aby pomóc rozwiązać problem.
   • przykład : log₄(x + 6x) = 2
     • Zaczynając od równania teoretycznego, zastosujmy go do naszego przykładu: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Napisz równanie jako: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   odnaleźć x. Masz teraz do czynienia z równaniem drugiego stopnia, które jest łatwe do rozwiązania.
   • przykład : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16-16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Napisz swoją odpowiedź. Często mamy dwie odpowiedzi (korzenie). Należy sprawdzić w równaniu początkowym, czy te dwie wartości są odpowiednie. Rzeczywiście, nie możemy obliczyć dziennika liczby ujemnej! Wpisz jedyną prawidłową odpowiedź.
   • przykład : x = 2
   • Nigdy nie będziemy go wystarczająco pamiętać: dziennik liczby ujemnej nie istnieje, więc możesz tutaj odrzucić - 8 jako rozwiązanie. Gdybyśmy wzięli -8 jako odpowiedź, w podstawowym równaniu mielibyśmy: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), tj. Log₄(-2) = 2 - log₄(-8). Nie można obliczyć dziennika wartości ujemnej!

Metoda 3 Znajdź x używając t logarytmicznej reguły ilorazu

1. 
   

   
   Musisz znać zasadę dotyczącą podziału dzienników. Zgodnie z drugą właściwością logów, która dotyczy podziału logów (tej samej bazy wysyłanej!), Log ilorazu jest równy różnicy log log licznika i log mianownika. Ilustracja:
   • log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(N)
   • Muszą być spełnione dwa warunki:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Oddziel dzienniki po jednej stronie równania. Rzeczywiście celem jest zepsucie początkowo kłód. W tym celu przekazujemy wszystkie elementy nielogarytmiczne po drugiej stronie równania. Nie zapomnij odwrócić znaków operacyjnych!
   • przykład : log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Zastosuj regułę ilorazu dziennika. Tutaj zastosujemy go w przeciwnym kierunku, a mianowicie, że różnica logów jest równa logowi ilorazu. Co daje nam:
   • przykład : log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Przepisz równanie z mocami. Przypomnij sobie, że równanie logarytmiczne można przekształcić w równanie z wykładnikami wykładniczymi. Tak jak poprzednio, przejdziemy do notacji wykładniczej, aby pomóc rozwiązać problem.
   • przykład : log₃ = 2
     • Zaczynając od równania teoretycznego, zastosujmy go do naszego przykładu: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Napisz równanie jako: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   odnaleźć x. Teraz, gdy nie ma już dzienników, ale moce, powinieneś łatwo je znaleźć x.
   • przykład : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) i mdash; mnożymy obie strony przez (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Wpisz ostateczną odpowiedź. Wróć do swoich obliczeń i sprawdź. Kiedy jesteś pewien swojej odpowiedzi, zapisz ją zdecydowanie.
   • przykład : x = 3